Page du cours d'Outils mathématiques (MDD3)

Le cours sera dispensé sur tableau et il n'y aura pas de polycopié du cours, il vous est donc vivement recommandé de prendre en note l'intégralité du cours. Le premier contrôle aura lieu le 3 novembre à 10:15 (salle GA125). Le deuxième et dernier contrôle aura lieu le 15 décembre à 15:30 (salle GA125).

Cours

Voici une liste des séances, avec des brefs résumés et compléments éventuels qui apparaitront au fur et à mesure :

• Mercredi 17 septembre : Introduction à l'intégrale de Lebesgue, notion d'espace de probabilité, de variable aléatoire. Loi d'une variable aléatoire et fonction de répartition. Variables aléatoires à densité, exemples.
• Mardi 23 septembre : Retour sur les propriétés des fonctions de répartition. Espérance, variance, calcul dans le cas d'une loi à densité. Indépendance de variables aléatoires.
• Mardi 7 octobre : Retour sur l'indépendance, espérance d'un produit de variables aléatoires indépendantes, corrélation. Convergence de variables aléatoires : presque sûre, en moyenne quadratique, en probabilité, en loi. Loi forte des grands nombres et TCL.
• Mardi 14 octobre : Bases de l'échantillonage. Notion de n-échantillon, satistiques de base d'un n-échantillon : espérance empirique, variance empirique, variance de l'échantillon et calcul de l'espérance de ces statistiques. Loi du chi-deux, loi de Student. Exemple d'utilisation de la loi de Student.
• Mardi 21 octobre : Estimation paramétrique ponctuelle : classe exponentielle, estimateur UMVUE, méthode des moments, maximum de vraissemblance, méthode bayésienne. Voici les slides de ce cours.
• Lundi 3 novembre 10h15 : 1ère évaluation. Tous documents autorisés, calculette autorisée. Sujet et corrigé. Voici les annales de l'an dernier et leur corrigé, notez que les questions 6-9 de l'exo 1 ne sont pas au programme. Cette année le contrôle sera plus classique avec pas de choix sur les exercices.
• Lundi 17 novembre : Intervalles de confiance. Méthode des quantiles sur un exemple, méthode de la fonction pivot pour la loi gaussienne de variance 1 et la loi exponentielle. Cas gaussien général : utilisation de la loi de Student.
• Lundi 24 novembre : Intervalle de confiance pour l'écart des moyennes deux échantillons suivant des lois normales indépendantes de même variance. Méthode asymptotique pour le cas général. Intervalle de confiance pour le paramètre d'une Bernoulli sur un grand échantillon.
• Lundi 8 décembre : Tests d'hypothèses paramétriques. Notion de niveau, hypothèse nulle, notion de test paramétrique. Test de la moyenne d'une gaussienne à écart-type fixé puis à écart-type quelconque via la loi de Student. Test de la différence de moyennes pour des gaussiennes à écart-type identique puis méthode asymptotique pour le cas quelconque. Test du paramètre d'une Bernoulli sur un grand échantillon. Les tests par rapport de vraisemblance n'ont pas été abordés.
• Lundi 15 décembre (salle GA125 15:30) : Controle final. Notes de cours autorisées. Annales de l'année passée : sujet et corrigé. Voici le sujet de cette année et son corrigé.

TD

Je m'occupe également des TDs, que voici :

• TD 1 : Variables aléatoires réelles
• TD 2 : Lois usuelles. Les exercices 2, 3 et 4 sont à faire en DM pour le 9 octobre, en se renseignant sur la loi hypergéométrique, que l'on peut calculer à l'aide d'un tableur ou d'un langage de programmation comme R. Voici le corrigé du DM et le fichier ODS (tableur) qui va avec.
• TD 3 : Indépendance.
• TD 4 : Convergence de variables aléatoires.
• TD 5 : Bases de l'échantillonage.
• TD 6 : Estimation paramétrique ponctuelle.
• TD 7 : Intervalles de confiance.
• TD 8 : Tests d'hypothèses paramétriques.

Ressources supplémentaires

• Ce cours s'inspire beaucoup du cours de mon prédécesseur Thomas Chambrion, qui lui-même s'inspire beaucoup du livre de Michel Lejeune Statistique : La théorie et ses applications, disponible en pdf légalement sur le site de la BU (ou directement si vous êtes connecté à internet depuis l'université).