Page du cours et TD de Maths 3 - Analyse (PEIP-2A)
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Cours
Le cours a lieu la plupart du temps mercredi de 10h15 à 12h00 en amphi Steinbrunn.
Voici un résumé des séances :
- 11 septembre : Début du chapitre sur les suites et séries de fonctions. Exemple de la série exponentielle sans preuves rigoureuses.
Définition de la convergence simple, exemples, exemple de limite simple de fonction continues qui n'est pas continue.
Rappels sur la continuité et la définition de limite. Définition de la convergence uniforme et comparaison avec la convergence simple.
- 12 septembre : Exemple de convergence simple pas uniforme, toute limite uniforme de fonctions continues est continue.
Compatibilité avec la somme et le produit de la convergence uniforme.
Condition pour que la limite uniforme soit de classe C1.
Voici un complément sur les sommes et produits de limites uniformes,
et un complément sur la convergence uniforme et l'intégration.
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18 septembre : Rappels sur les nombres complexes. Séries numériques complexes et révisions sur les séries numériques réelles.
Séries de fonctions, domaine de convergence, la convergence normale implique la convergence uniforme. Exemple de la série géométrique.
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25 septembre : Début du chapitre sur les séries entières : lemme d'Abel, définition
du rayon de convergence, convergence normale et divergence en fonction du rayon
de convergence, critère de d'Alembert, exemples.
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2 octobre : Preuve du critère de d'Alembert, critère de Cauchy. Critères de comparaison. Sommes de séries entières, produit de Cauchy,
produits de séries entières.
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9 octobre : Exponentielle complexe, cosinus et sinus complexe, formules de trigonométrie. Dérivation de séries entières.
Les sommes de séries entières sont de classe C∞ sur ]-R,R[ où R est le rayon de convergence de la série entière.
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16 octobre : Fonctions développables en série entière, somme, produit, intégration,
dérivation. Unicité des coefficients. Développements en série entière à connaitre.
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23 octobre : Développement en série entière de (1+x)α (preuve via une équation différentielle).
Correction du DM (exercice 6 du TD1).
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mardi 5 novembre : contrôle 1, 10h15, amphi Gevrey, durée : 1h15.
Voici le sujet et son corrigé.
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14 novembre : Début du chapitre sur les séries génératrices et les probabilités discrètes. Rappel
des lois Bernoulli, binomiales, de Poisson, géométrique. Calcul de leurs séries génératrices.
Calcul de leurs espérances en dérivant la somme des séries génératrices.
Fonction génératrice d'une somme de variables aléatoires discrètes indépendantes.
Application à la loi binomiale.
TD
Je suis également en charge des TD.
Voici les énoncés.