Page du cours et TD de Maths 3 - Analyse (PEIP-2A)
Cours
Le cours a lieu la plupart du temps mercredi de 10h 15 à 12h 00 en amphi Steinbrunn.
Voici un résumé des séances :
- 11 septembre : Début du chapitre sur les suites et séries de fonctions. Exemple de la série exponentielle sans preuves rigoureuses.
Définition de la convergence simple, exemples, exemple de limite simple de fonctions continues qui n'est pas continue.
Rappels sur la continuité et la définition de limite. Définition de la convergence uniforme et comparaison avec la convergence simple.
- 12 septembre : Exemple de convergence simple pas uniforme, toute limite uniforme de fonctions continues est continue.
Compatibilité avec la somme et le produit de la convergence uniforme.
Condition pour que la limite uniforme soit de classe C1.
Voici un complément sur les sommes et produits de limites uniformes,
et un complément sur la convergence uniforme et l'intégration.
-
18 septembre : Rappels sur les nombres complexes. Séries numériques complexes et révisions sur les séries numériques réelles.
Séries de fonctions, domaine de convergence, la convergence normale implique la convergence uniforme. Exemple de la série géométrique.
-
25 septembre : Début du chapitre sur les séries entières : lemme d'Abel, définition
du rayon de convergence, convergence normale et divergence en fonction du rayon
de convergence, critère de d'Alembert, exemples.
-
2 octobre : Preuve du critère de d'Alembert, critère de Cauchy. Critères de comparaison. Sommes de séries entières, produit de Cauchy,
produits de séries entières.
-
9 octobre : Exponentielle complexe, cosinus et sinus complexe, formules de trigonométrie. Dérivation de séries entières.
Les sommes de séries entières sont de classe C∞ sur ]-R,R[ où R est le rayon de convergence de la série entière.
-
16 octobre : Fonctions développables en série entière, somme, produit, intégration,
dérivation. Unicité des coefficients. Développements en série entière à connaitre.
-
23 octobre : Développement en série entière de (1+x)α (preuve via une équation différentielle).
Correction du DM (exercice 6 du TD1).
-
Mardi 5 novembre : contrôle 1, 10h 15, amphi Gevrey, durée : 1h15.
Voici le sujet et son corrigé.
-
14 novembre : Début du chapitre sur les séries génératrices et les probabilités discrètes. Rappel
des lois Bernoulli, binomiales, de Poisson, géométrique. Calcul de leurs séries génératrices.
Calcul de leurs espérances en dérivant la somme des séries génératrices.
Fonction génératrice d'une somme de variables aléatoires discrètes indépendantes.
Application à la loi binomiale.
-
20 novembre : Espérance du produit de deux variables aléatoires indépendantes
(+explications hors programme sur les sommes infinies sur deux indices).
Espérance et variance à partir de la fonction génératrice,
exemple de la loi de Poisson et de la loi géométrique.
-
26 novembre : Convergence en loi pour les variables discrètes (P(Xn=k)->P(X=k)),
exemple des hypergéométriques qui converge en loi vers une binomiale, caractérisation
en termes de convergence simple/uniforme des fonctions génératrices (admise, la preuve
apparaitra ici d'ici peu), exemple des binomiales
qui converge en loi vers une Poisson.
Sommes aléatoires de variables aléatoires : fonction génératrice dans le cas où tout est
indépendant. Cas où on somme des Bernoulli sur une Poisson : on obtient une Poisson
de paramètre le produit des paramètres.
-
Mercredi 15 janvier : contrôle final, 13h 30, amphi Gevrey, durée : 1h30.
Vous êtes autorisé à avoir une feuille A4 manuscrite avec le contenu de votre choix.
Le programme porte sur la totalité de ce qui a été vu en cours et en TD.
Préparer le TD 7 est une bonne manière de vous entrainer pour le contrôle.
Voici le sujet et son corrigé.
TD
Je suis également en charge des TD.
Voici les énoncés.